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Die Mathematik beim Wichteln (Teil 2)

Jaja, der Winter. Die Tage werden kürzer, die Wochen länger … oder so.

Zuerst einmal die Auflösung: die Wahrscheinlichkeit, dass sich jemand beim Wichteln selbst zieht, liegt bei stolzen 63,2 %. Etwa 2 von 3 Versuchen gehen also schief.

Fragen wir uns zunächst einmal wie viele Möglichkeiten es überhaupt gibt, n Zettel mit Namen an n Personen zu verteilen. Die erste Person, die in den Beutel greift, hat noch alle n Zettel zur Auswahl, die nachfolgende nur noch n - 1 und die nächste n - 2. Die vorletzte hat noch die Auswahl zwischen 2 Zetteln und die letzte muss den letzten Zettel aus dem Beutel greifen. Ergibt also: n ⋅ (n - 1) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1. Diese Funktion nennt man in der Mathematik die Fakultät einer Zahl und wird n! abgekürzt. Das kombinatorische Prinzip dahinter heißt übrigens Permutation und beschreibt, wie eine Menge von n Elementen auf die selbe Menge mit n Elementen abgebildet werden kann.

Nun gibt es besondere Permutationen, bei denen sichergestellt ist, dass kein Element auf sich selbst abgebildet wird. Diese nennt man fixpunktfreie Permutationen und ich musste selbst erst einmal nachschlagen, wie man deren Anzahl bei n Elementen berechnet: mit der Subfakultät, die !n abgekürzt wird. Und so sieht die Formel dazu aus:

Nun haben wir alles beisammen, was wir brauchen. Um zu bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand beim Wichteln sich selbst zieht, berechnen wir die Gegenwahrscheinlichkeit aus dem Verhältnis zwischen der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen (niemand zieht sich selbst) und der Anzahl der Permutationen überhaupt:

Nach der letzten Kürzung sieht das doch schon ganz brauchbar aus. Tabellieren wir das mal in Abhängigkeit von n und man sieht, dass sich die Wahrscheinlichkeit ab 5 Personen kaum noch ändert:

n p
1 1,000000
2 0,500000
3 0,666666
4 0,625000
5 0,633333
6 0,631944
7 0,632142
8 0,632118
9 0,632120
10 0,632121

Fun Fact zum Schluss: Der Grenzwert ist übrigens … (Trommelwirbel) …

[unterstützt durch Produktplatzierungen]

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