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Kein Fels in der Brandung

Im März 2004 war ich für eine Woche auf Malta und habe von dort einen Tagesausflug zur Insel Gozo unternommen. Im Rahmen der Busrundreise durfte natürlich auch nicht ein Abstecher zum Azure Window fehlen, ein im Laufe der Jahrmillionen entstandener Felsbogen, der ins Mittelmeer ragt. Damals erzählte unsere Fremdenführerin, dass man erwarte, das Azure Window würde in den nächsten 30 Jahren einstürzen und sie daher nicht wisse, wie oft sie noch mit Touristen hierher kommen würde. Ich habe das damals als eine Touristen-Anekdote abgetan. Ein so gewaltiger Felsbrocken (man vergleiche mit der Person oben auf dem Felsen), der Millionen Jahre überdauert hat, verschwindet wohl nicht mal so eben in ein paar Jahren.

Azure Window auf Gozo, März 2004

Am 8. März 2017 ist das Azure Window vollständig eingestürzt.

Wurden die Teletubbies in Deutschland verboten?

Bei einer kürzlichen Arbeitsphase kamen einige Mittelstufenschüler in unmittelbarer Nähe zum Lehrerplut über ihre Kindheitsserien ins Gespräch. Einem fielen dabei sofort die Teletubbies ein und man war sich sicher, dass niemand die gesehen habe. Allerdings erinnerte sich einer daran, dass die Teletubbies damals abgesetzt wurden, da sich ein Kind den Bauch mit einem Messer aufgeschlitzt habe, mit dem Vorhaben, sich wie bei den Teletubbies einen Fernseher dort einzusetzen. Auch die anderen erinnerten sich an den Vorfall. Mir kam das höchst eigenwillig vor und ich merkte an, dass das wie eine urbane Legende klinge. Die Schüler waren sich aber sicher, dass das so passiert sei.

Ausschnitt eines Bildes von Berit from Redhill/Surrey, UK – The Teletubbies are still here 2011, CC BY 2.0

Ich habe dann mal schnell über Google gesucht und fand … nichts. Dass offenbar keine Nachricht über einen solch dramatischen Vorfall im gesamten Internet exstierte, bekümmerte die Schüler herzlich wenig. Schließlich kannte jeder von ihnen die Geschichte – muss also stimmen. Zuhause musste ich der Sache dann doch noch mal nachgehen und fand auch bei anderen Schlüsselbegriffen höchstens Foreneinträge der Art „Ich habe mal gehört, dass …“. Seriöse Quellen: Fehlanzeige. Im englischsprachigen Raum sorgten sich einige fundamentale Christen darum, die Teletubbies enthielten homosexuelle Symboliken und forderten deshalb erfolglos ihre Absetzung; von dem besagten Vorfall: keine Spur.

Die einzige Quelle, die ich ausgraben konnte und die den Vorfall als faktisch präsentiert, ist die Spaßenzyklopädie „Stupidedia“. Dort heißt es im Artikel zu den Teletubbies:

Die Erstausstrahlung der Teletubbies begann 1999, wurde jedoch aufgrund von Berichten, Kinder würden sich den Bauch aufschlitzen um den Fernseher zu finden, und sich wie Teletubbies verhalten, […] sogleich wieder eingestellt.

Die Teletubbies, die übrigens erstmals 1997 ausgestrahlt wurden, sind erst 5 Jahre später eingestellt worden, weil man auf den Programmplätzen schlicht neue Konzepte ausprobieren wollte. 2015 sendete man noch einmal 60 neue Folgen, die meinem Kenntnisstand jedoch nicht mehr im deutschsprachigen Raum ausgestrahlt wurden. Aber die Geschichte mit dem bauchaufschlitzenden Kind klingt da natürlich viel cooler. Wen interressieren da schon Fakten?

Die abcdef-Formel

Wenn es um das Lösen quadratischer Gleichungen geht, erfreut sich die pq-Formel großer Beliebtheit. Einfach die Koeffizienten p und q einsetzen, in den Taschenrechner einhacken, fertig. Selbst wenn einem bei Gleichungen wie x²-1=0 oder x²+2x=0 die Lösung schon fast entgegenspringt: pq-Formel.

Leider vergessen viele Lernende regelmäßig die Gleichung so umzuformen, dass man die pq-Formel überhaupt anwenden darf. Schließlich muss die Gleichung erst einmal in die Form x²+px+q=0 gebracht werden. Furchtbar schlimme Äquivalenzumformungen sind die Folge, die man ja eigentlich vermeiden wollte. Die allgemeinere abc-Formel (auch Mitternachtsformel genannt) hilft da nur sehr eingeschränkt. Deshalb präsentiere ich hier und jetzt die ultimative abcdef-Formel!

Bei jeder quadratischen Gleichung der Form …

… lassen sich die Lösungen ganz einfach mit der eingänigen abcdef-Formel berechnen:

Nichts zu danken.

Die Mathematik beim Wichteln (Teil 2)

Jaja, der Winter. Die Tage werden kürzer, die Wochen länger … oder so.

Zuerst einmal die Auflösung: die Wahrscheinlichkeit, dass sich jemand beim Wichteln selbst zieht, liegt bei stolzen 63,2 %. Etwa 2 von 3 Versuchen gehen also schief.

Fragen wir uns zunächst einmal wie viele Möglichkeiten es überhaupt gibt, n Zettel mit Namen an n Personen zu verteilen. Die erste Person, die in den Beutel greift, hat noch alle n Zettel zur Auswahl, die nachfolgende nur noch n - 1 und die nächste n - 2. Die vorletzte hat noch die Auswahl zwischen 2 Zetteln und die letzte muss den letzten Zettel aus dem Beutel greifen. Ergibt also: n ⋅ (n - 1) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1. Diese Funktion nennt man in der Mathematik die Fakultät einer Zahl und wird n! abgekürzt. Das kombinatorische Prinzip dahinter heißt übrigens Permutation und beschreibt, wie eine Menge von n Elementen auf die selbe Menge mit n Elementen abgebildet werden kann.

Nun gibt es besondere Permutationen, bei denen sichergestellt ist, dass kein Element auf sich selbst abgebildet wird. Diese nennt man fixpunktfreie Permutationen und ich musste selbst erst einmal nachschlagen, wie man deren Anzahl bei n Elementen berechnet: mit der Subfakultät, die !n abgekürzt wird. Und so sieht die Formel dazu aus:

Nun haben wir alles beisammen, was wir brauchen. Um zu bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand beim Wichteln sich selbst zieht, berechnen wir die Gegenwahrscheinlichkeit aus dem Verhältnis zwischen der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen (niemand zieht sich selbst) und der Anzahl der Permutationen überhaupt:

Nach der letzten Kürzung sieht das doch schon ganz brauchbar aus. Tabellieren wir das mal in Abhängigkeit von n und man sieht, dass sich die Wahrscheinlichkeit ab 5 Personen kaum noch ändert:

n p
1 1,000000
2 0,500000
3 0,666666
4 0,625000
5 0,633333
6 0,631944
7 0,632142
8 0,632118
9 0,632120
10 0,632121

Fun Fact zum Schluss: Der Grenzwert ist übrigens … (Trommelwirbel) …

[unterstützt durch Produktplatzierungen]

Die Mathematik beim Wichteln (Teil 1)

Es kommt wieder die Zeit, in der in vielen Betrieben, Freundeskreisen und in der Schule gewichtelt wird. In der Regel gibt man dazu die Namen aller Teilnehmer auf Zetteln in einen Beutel und lässt nacheinander daraus ziehen. Ärgerlicherweise kann es dabei natürlich passieren, dass jemand in der Runde sich selbst zieht und man wieder von vorne beginnen kann. Da drängt sich natürlich jedem1 sofort die Frage auf: wie wahrscheinlich ist es eigentlich, dass mindestens eine Person sich selbst zieht?

Ausschnitt eines nachbearbeiteten Bildes von: whatleydude@flickr – Lizenz: CC-by

Für einen kleinen Teilnehmerkreis (ich nenne die Anzahl der Personen im Folgenden n) ist die Sache leicht zu berechnen. Für n = 1 ist die Chance, dass diese eine Person sich selbst zieht, bei 100 %. Außerdem ist es sehr traurig.

Für n = 2 geht die Sache entweder perfekt aus, weil jeder den anderen zieht, oder jeder zieht sich selbst; macht 50 % und ist das Gegenteil von spannend.

Erst für n = 3 wird die Sache langsam spannender und erstaunlicherweise nähert sich die Wahrscheinlichkeit, dass jemand in der Runde sich selbst zieht, sehr schnell einem Grenzwert an, sodass die Anzahl der Teilnehmer keine wesentliche Rolle spielt. Man kann also die Frage von oben ziemlich pauschal mit einem konkreten Prozentwert beantworten.

Die Antwort darauf gibt es in etwa einer Woche. Wer will, kann gerne in die Kommentare seine Vermutung posten.

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1: normale Menschen ausgeschlossen